1 + 2 + 3 + 4 + ... + n 的求和公式

对于正整数 n，1 + 2 + 3 + 4 + ... + n 的求和公式为：n(n+1)/2

证明

数学归纳法：
基本情况：当 n = 1 时，求和为 1，公式成立。
归纳假设：假设公式对正整数 k 成立，即 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。
归纳步骤：现在要证明公式对正整数 k+1 也成立：
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)
= k(k+1)/2 + (k+1)
= (k+2)(k+1)/2
因此，公式对正整数 k+1 也成立。所以，通过数学归纳法，公式对所有正整数 n 成立。

例题

计算 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 的和。

解答：

使用求和公式：100(100+1)/2 = 5050

变形公式

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) 的求和公式为：n²
2 + 4 + 6 + ... + 2n 的求和公式为：n(n+1)

应用

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n 的求和公式在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如：
- 计算等差数列的和
- 求解积分
- 对概率分布进行建模

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